Nieznane mechanizmy fizyczne na Słońcu

Analizy matematyczne wykonywane z użyciem multifraktali są cennym źródłem informacji o dynamice zjawisk zachodzących na różnych poziomach złożoności. Ich ważną zaletą jest m.in. fakt, że pozwalają łatwo usunąć wpływ bieżących, długofalowych trendów. W artykule opublikowanym w czasopiśmie "Physical Review E" naukowcy z Instytutu Fizyki Jądrowej Polskiej Akademii Nauk (IFJ PAN) w Krakowie po raz pierwszy pokazują, że pewne dotychczas pomijane cechy wykresów multifraktalnych, znanych jako spektra osobliwości szeregów czasowych, w rzeczywistości mają ścisły związek z charakterem analizowanych zjawisk.

"Zwróciliśmy uwagę na pewną asymetrię wykresów powstających w trakcie analiz multifraktalnych. Dotychczas tę asymetrię traktowano jako artefakt metody. My pokazujemy, że asymetria może nieść cenną informację o naturze analizowanych procesów. Gdy przy takim podejściu spojrzy się na niektóre wykresy multifraktalne, na przykład dotyczące zmienności liczby plam na tarczy Słońca, można dojść do naprawdę ciekawych wniosków", mówi prof. dr hab. Stanisław Drożdż (IFJ PAN, Politechnika Krakowska).

Fraktale to obiekty, których charakterystyczną cechą jest samopodobieństwo: każdy fragment po odpowiednim powiększeniu lub zmniejszeniu przypomina obiekt wyjściowy. Co ważne, takie przeskalowanie dowolnego fragmentu zwykłego fraktala odbywa się z jednakową szybkością: jeśli powiększenie x razy w jednym miejscu fraktala ujawni strukturę podobną do pierwotnej, w innym miejscu to samo powiększenie zadziała tak samo. Niektóre fraktale są tak charakterystyczne, że zyskały sławę nawet w popkulturze. Jest wśród nich m.in. fraktalny trójkąt skonstruowany w 1915 roku przez Wacława Sierpińskiego, czy charakterystyczny zbiór opisany po raz pierwszy przez francuskiego matematyka polskiego pochodzenia, Benoita Mandelbrota. Okazuje się jednak, że mogą istnieć jeszcze bardziej zaawansowane konstrukcje matematyczne, zbudowane z fraktali 'splecionych' ze sobą w odpowiedni sposób i w odpowiednich proporcjach.

"Multifraktal to w pewnym sensie fraktal fraktali. Nie jest zwykłą sumą fraktali i nie można go rozłożyć z powrotem na fraktale składowe, ponieważ już sam sposób 'splotu' ma charakter fraktalny. Tak specyficzne 'splecenie' powoduje, że każdy fragment multifraktala trzeba powiększać z inną szybkością", wyjaśnia dr Paweł Oświęcimka (IFJ PAN), współautor publikacji.

Prototyp multifraktala można skonstruować nawet podczas śniadania. Wystarczy w tym celu rozsmarować masło na kromce chleba według następującego przepisu. Kromkę dzielimy na połowy (nie krojąc), bierzemy porcję masła i na jednej połowie rozsmarowujemy jej pewną część, a na drugiej połowie kromki - drugą. Następnie każdą połówkę kromki znów dzielimy na połowy i każdą znów smarujemy, używając w tym celu tej samej porcji masła co wcześniej i rozmieszczając ją w tych samych proporcjach. Gdyby proces można było powtórzyć dowolną liczbę razy, rozkład masła na kromce miałby charakter multifraktalny, tym wyraźniejszy, im większa była przyjęta dysproporcja w rozmieszczeniu masła w ramach każdej pary połówek.

Analizy przeprowadzane z użyciem multifraktali ujawniają właściwości zakodowane w danych, a dotyczące zależności w różnych skalach. Podstawowym narzędziem są tu wykresy znane jako spektra multifraktalne lub spektra osobliwości.

"Jeśli dane mają strukturę prostego fraktala, wykres multifraktalny redukuje się do punktu. Jeśli struktura multifraktalna jest jednorodna, wtedy wykres przypomina idealnie symetryczną, łagodną 'górkę' - jest odwróconą parabolą. Rzecz w tym, że wiele wykresów dotyczących rzeczywistych danych nie jest idealnie symetryczna. Z reguły lewa strona jest dominująca", mówi dr Oświęcimka.

Lewostronną asymetrię wykazuje wiele zbiorów danych. Gdy przeanalizujemy pod kątem zmienności długości zdań dzieła literackie, większość nie będzie miała struktury multifraktalnej - z wyjątkiem gatunku literackiego zwanego "strumieniem świadomości", ze sztandarowym "Finnegans Wake" Jamesa Joyce'a. Jednak należące do tego gatunku dzieła, takie jak "Rayuela" Julio Cortazara czy "2666" Roberto Bolana, okazują się mieć tę strukturę o silnej lewostronnej asymetrii. Oznacza to, że odpowiednie wzajemne korelacje przejawiają się głównie w zmienności z udziałem zdań długich, podczas gdy w zdaniach krótkich praktycznie zanikają.

Istnieją jednak zdarzenia wykazujące znaczną asymetrię w prawo. Przykładem są tu sekwencje odstępów czasowych, w jakich na giełdach dochodzi do zmian cen akcji spółek. Ceny takie nie zmieniają się jednostajnie. Przeciwnie, są długie okresy, gdy cena, przy braku transakcji, pozostaje stała, po czym nagle w krótkim czasie dochodzi do wielu operacji. Prawostronna asymetria oznacza wtedy, że o ile odstępy czasowe między zbitkami transakcji są słabo skorelowane, w zasadzie przypadkowe, o tyle odstępy czasowe w samych zbitkach są specyficznie powiązane.

Najciekawsza obserwacja pojawiła się, gdy fizycy z IFJ PAN zaczęli analizować zmienność liczby plam na Słońcu. Nieoczekiwanie wykresy wykazały nie tylko multifraktalność, ale także - co było już zupełnie zaskakujące - okazały się silnie asymetryczne w prawo. Zatem gdy fluktuacje w liczbie plam mają większą amplitudę, ich zmienność jest dość przypadkowa, a staje się bardziej skorelowana przy mniejszej amplitudzie fluktuacji.

"Prawostronną asymetrię w przypadku odstępów czasowych między transakcjami na giełdzie można zrozumieć. Nic się nie dzieje, ktoś nagle kupi akcje lub sprzeda, a wtedy inni zaczynają się też uaktywniać. Ale jaki mechanizm odpowiada za korelacje multifraktalne fluktuacji liczby plam na Słońcu, a szczególnie za ich dwoisty charakter?", zastanawia się prof. Drożdż.

Wyniki multifraktalnych analiz zmienności plam słonecznych zdają się potwierdzać przypuszczenia, że na Słońcu może funkcjonować nie jeden, a dwa mechanizmy odpowiedzialne za generowanie pól magnetycznych. Badania będą kontynuowane we współpracy z Belgijskim Obserwatorium Królewskim w Brukseli.