Algorytmy do optymalizowania niewypukłych funkcji wartości własnej dla macierzy zależnych od niewielkiej liczby parametrów

W większości rzeczywistych zastosowań badanych narzędzi matematycznych występuje macierz zależna od wielu parametrów, a jej wartości własne są potrzebne do doboru parametrów. W wielu przypadkach wybór parametrów jest podporządkowany określonemu celowi optymalizacyjnemu.

Naukowcy pracujący nad projektem OPT OF SINGULAR VALS (Lipschitz-based optimization of singular values with applications to dynamical systems) skoncentrowali się na konkretnych problemach modeli. Zajęto się między innymi zagadnieniami bliskości macierzy. Problemy tego typu dotyczą identyfikacji funkcji o wartościach macierzowych z zestawem wstępnie zdefiniowanych wartości własnych.

W zastosowaniach sterowania, gdzie wielkość najwyższej wartości własnej odpowiada stabilności systemu, może być pożądane minimalizowanie wartości własnej. Z kolei przy analizie struktur, gdzie najniższa wartość własna odpowiada obciążeniu wyboczenia, konieczne jest maksymalizowanie najniższej wartości własnej.

Jeśli jedna macierz jest bardzo zbliżona do innej macierzy o wielu wartościach własnych, jedna z wartości własnych macierzy jest bardzo wrażliwa na perturbacje danych wejściowych pierwszej macierzy. Problemy tego typu pojawiają się w systemach sterowania.

Badacze z projektu OPT OF SINGULAR VALS opracowali algorytmy rozwiązywania takich problemów optymalizacyjnych zależne od niewielkiej liczby parametrów. Niezawodna implementacja tych algorytmów, nazwana EIGOPT, jest publicznie dostępna tutaj wraz z podręcznikiem.

W toku projektu naukowcy wykorzystali nowe algorytmy do licznych prac obliczeniowych, rozwiązując problemy pojawiające się w kontekstach liniowych, wielomianowych i nieliniowych. Zebrane doświadczenia zostaną wykorzystane podczas nowego projektu wspólnego angażującego Technische Universität Berlin w Niemczech, École polytechnique fédérale de Lausanne w Szwajcarii i Koç Üniversitesi w Turcji.