logo_ActiveJet_200.pngPatronat nad działem objęła marka Activejet - tusze i tonery dla każdego
Zadzwoń i zapytaj o zamiennik, Infolinia: 801 08 1111

Matematyka i statystyka

Holonomia i foliacje singularne

Holonomia sprawdza się jako skuteczne narzędzie w badaniu ruchu nieswobodnego, w którym obiekt ma poruszać się w większej liczbie wymiarów, niż jest to dozwolone. Matematycy korzystający ze wsparcia środków unijnych rozszerzyli zastosowanie holonomii z foliacji regularnych na foliacje singularne.

Rozmaitość podzielona na podrozmaitości nazywana jest rozmaitością z foliacją. Foliacje występują przy rozwiązywaniu równań różniczkowych w różnych dziedzinach matematyki, w tym w fizyce matematycznej czy teorii sterowania, dotyczącej zachowania się układów dynamicznych.

Choć "regularne" foliacje są dokładnie zbadane, to większość foliacji ma charakter patologiczny. Te foliacje singularne, występujące w rozmaitościach jako podmoduł ściśle upakowanych pól wektorowych, były przedmiotem badań prowadzonych w ramach projektu NCGSF (Noncommutative geometry for singular foliations).

Uczeni sformułowali hipotezę Bauma-Connesa dla dowolnej foliacji singularnej. Zgodnie z tym hipotetycznym uogólnieniem twierdzenia Atiyaha-Singera czysto typologiczne obiekty koincydują z obiektami czysto analitycznymi. Jego udowodnienie było możliwie dzięki skonstruowaniu tzw. patologicznego grupoidu holonomicznego.

Grupoid holonomiczny to struktura matematyczna śledząca symetrie foliacji. Był to najważniejszy element części analitycznej twierdzenia Bauma-Connesa. Dokładniej mówiąc, uczeni wprowadzili pojęcie transformacji holonomicznej, odpowiednika dyfeomorfizmu.

Do stworzenia części geometrycznej naukowcy wykorzystali model LeGalla-Tu. Najpierw jednak trzeba było zdefiniować warunki gwarantujące wzdłużną gładkość grupoidu holonomicznego. Dopiero wówczas możliwe było sformułowanie modelu normalnej formy regularnej rozmaitości z foliacją wokół kompaktowego "liścia".

Metodologia zastosowana w projekcie NCGSF została opisana w szeregu publikacji na łamach międzynarodowych czasopism naukowych. Wykorzystuje ona zdobycze wcześniejszych badań prowadzonych przez tych samych naukowców, którzy udoskonalili ją, tworząc grupoid holonomiczny dowolnej foliacji singularnej.

data ostatniej modyfikacji: 2016-05-24 14:03:40



Przegląd uczelni
w Polsce
uns_220.gif
Wy__sza_Szko__a_Mened__erska_boks_220.jpg
Polskie uczelnie w obrazach
miniatura
miniatura
miniatura